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我曾经在一张小学数学试卷上看到这样一道题:“正方形的面积是5平方分米,求这个正方形的内切圆的面积。”表面上看,这个问题小学生解决不了,因为要求圆的面积,一般要知道圆的半径,这题中就需要先知道正方形的边长,而正方形的面积是5平方分米,边长就是!5分米,小学生没有学过开方,似乎没有办法进行计算。而实际上,正方形的面积是它边长的平方,圆的面积用到的是半径的平方,并不一定要知道半径,知道半径的平方就行了,而此题中半径的平方是直径平方(即正方形面积)的四分之一,所以是能够解决的。但有很多学生解决不了,而告诉他们答案后,学生往往觉得非常简单。这是为什么呢?这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系,从计算发展到推理,是很重要的。这里有很值得研究的问题。

小学生学的是很初等的数学,但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过,“数学的目的,就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”,“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去,就必须不断努力把它们简化和统一”,“过去曾经使成年人困惑的问题,在以后的年代,连孩子们都容易理解”。这几句话,我觉得非常亲切,因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点,把难的变成容易的,把高等的变成初等的。我想,高等的与初等的数学之间,没有必然的鸿沟,主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来,往往能够化难为易,化繁为简。

人们以前认为三角函数是非常难学的,是高等数学的内容。它既不是加减乘除,又不是开方,它是超越函数。在数学史上,函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函数都是算术运算的结果,就算没有函数的概念,学生也是比较容易理解的。三角函数则不然,一定要有“对应”的概念,函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年,我在新疆教过中学,那时发现学生学习三角比较困难,就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里(《平面三角解题新思路》,1997,中国少年儿童出版社)讲了这方面的具体想法。最近发现,三角不但可以变得很初等、很容易,而且可以成为初中数学的一条主线,把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章(《下放三角全局皆活》,《数学通报》,2007年1-2期)。张奠宙先生说,按我的这种思路,三角里的正弦函数,可以在小学里引进。如何引进呢?他把我提出的正弦函数的新的定义方法,作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章:

矩形用单位正方形去度量,结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求?自然是用单位菱形,同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积,再乘上单位菱形面积的因子”,原理完全相同。一个明显的事实是:单位正方形压扁了,成为单位菱形,两者的区别在于角A。A是直角,面积为1,A不是直角,面积就要打折扣。这个折扣是一个小数,和A有关,记作sinA(图5)。

张奠宙先生还说:“如果能从小学就学sinA,当然是一次解放。”

我们看到,数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质,就能把难的变成容易的,把高等的变成初等的。就能把“过去曾经使成年人困惑的问题”,变得“孩子们都容易理解”。

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